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        1. 【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,側(cè)面PAB為等邊三角形,側(cè)棱
          (Ⅰ)求證:PC⊥AB;
          (Ⅱ)求證:平面PAB⊥平面ABC;
          (Ⅲ)求二面角B﹣AP﹣C的余弦值.

          【答案】解:(Ⅰ)設(shè)AB中點(diǎn)為D,連接PD,CD,

          因?yàn)锳P=BP,所以PD⊥AB.

          又AC=BC,所以CD⊥AB.

          因?yàn)镻D∩CD=D,所以AB⊥平面PCD.

          因?yàn)镻C平面PCD,所以PC⊥AB.

          (Ⅱ)由已知∠ACB=90°,AC=BC=2,

          所以 ,

          又△PAB為正三角形,且PD⊥AB,所以

          因?yàn)? ,所以PC2=CD2+PD2

          所以∠CDP=90°.

          由(Ⅰ)知∠CDP是二面角P﹣AB﹣C的平面角.

          所以平面PAB⊥平面ABC.

          (Ⅲ)方法1:由(Ⅱ)知CD⊥平面PAB.

          過D作DE⊥PA于E,連接CE,則CE⊥PA.

          所以∠DEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角.

          在Rt△CDE中,易求得

          因?yàn)? ,所以

          所以

          即二面角B﹣AP﹣C的余弦值為

          方法2:由(Ⅰ)(Ⅱ)知DC,DB,DP兩兩垂直.

          以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

          易知D(0,0,0), , , .所以 ,

          設(shè)平面PAC的法向量為n=(x,y,z),

          令x=1,則y=﹣1,

          所以平面PAC的一個法向量為

          易知平面PAB的一個法向量為

          所以

          由圖可知,二面角B﹣AP﹣C為銳角.

          所以二面角B﹣AP﹣C的余弦值為


          【解析】(Ⅰ)由題意,證明PC⊥AB可通過證明AB⊥平面PCD,用線面垂直證線線垂直;(II)要證明兩個平面垂直,可以證明兩個平面所成的二面角是直角,根據(jù)三邊長滿足勾股定理得到直角,得到結(jié)論.(III)方法一:過D作DE⊥PA于E,接CE,則CE⊥PA.所以∠DEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角,在三角形中求角即可;方法二:(空間向量法)以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,給出各點(diǎn)的坐標(biāo),建立方程求出兩個平面的法向量,用公式求出二面角的余弦值,
          【考點(diǎn)精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

          練習(xí)冊系列答案
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          A.2π
          B.4π
          C.8π
          D.16π

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          (Ⅰ)求b的值;
          (Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (Ⅲ)若g(x)>f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)內(nèi)恒成立,求a的取值范圍.

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          A.4
          B.4
          C.
          D. +

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          A.
          B.3
          C.
          D.

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          (Ⅰ)求a,b的值;
          (Ⅱ)若k∈Z,且f(x)+ (3x2﹣5x﹣2k)≥0對任意x∈R恒成立,求k的最大值.

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          (Ⅰ)求E的方程;
          (Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時,求l的方程.

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          A.Sn=2Tn
          B.Tn=2bn+1
          C.Tn>an
          D.Tn<bn+1

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          (2)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(x))處的切線的斜率為 ,且函數(shù)f(x)的最大值為M,求證:1<M<

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