Question

在△ABC中，已知三邊a、b、c成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求角B的最大值；
（Ⅱ）若B=

π

4

，求sin（2A-

π

4

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出關(guān)系式代入利用基本不等式變形求出cosB的最小值，即可確定出角B的最大值；
（Ⅱ）由等比數(shù)列的性質(zhì)列出的關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)，將B度數(shù)代入計(jì)算，整理即可求出所求式子的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
根據(jù)余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

1

2

（

a

c

+

c

a

-1）≥

1

2

×（2-1）=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，此時(shí)B=

π

3

，
∵余弦函數(shù)在[0，π]上是減函數(shù)，
∴0＜B≤

π

3

．
則角B的最大值是

π

3

；
（Ⅱ）由b²=ac，及正弦定理得sin²B=sinAsinC，
∵B=

π

4

，∴sinAsin（

3π

4

-A）=

1

2

，
展開(kāi)整理得2sin²A+2sinAcosA=

2

，
即1-cos2A+sin2A=1+

2

sin（2A-

π

4

）=

2

，
∴sin（2A-

π

4

）=

2- 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．