Question

【題目】設(shè)定義在實數(shù)集上的函數(shù),恒不為0,若存在不等于1的正常數(shù),對于任意實數(shù),等式恒成立,則稱函數(shù)為函數(shù).

（1）若函數(shù)為函數(shù),求出的值；

（2）設(shè),其中為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù).

①比較與的大小；

②判斷函數(shù)是否為函數(shù),若是,請證明；若不是,試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①②是函數(shù)，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意，列出方程，即可求解參數(shù)值.

（2）①根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，比較與的大小關(guān)系，進(jìn)而比較與的大小

②根據(jù)題意，列出方程，證明方程有解，令，判斷在上存在零點，即可證明是函數(shù).

（1）因為函數(shù)為函數(shù).

所以對任意實數(shù)都成立，即，即，

所以或

（2）①因為，所以，即

又因為在R上為增函數(shù)，所以

②若是函數(shù).則存在不等于1的正常數(shù)，

使等式對一切實數(shù)恒成立，即關(guān)于的方程有解，

令，則函數(shù)在上的圖像是一條不間斷的曲線，

據(jù)零點存在性定理，可知關(guān)于的方程在上有解，

從而是函數(shù).