Question

【題目】已知橢圓離心率為，點P(0,1)在短軸CD上，且.

（I）求橢圓E的方程；

（II）過點P的直線l與橢圓E交于A,B兩點.若，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）y=x+1.

【解析】

（1）通過橢圓的離心率和向量的數量積的坐標表示，計算即得，，進而得結論；（2）設直線l為，代入橢圓方程，運用韋達定理和向量共線的坐標表示，解方程可求斜率k，進而得到所求直線方程。

（1）由題意，e=，得a=

又C(0,b)，D(0,-b). ∴=(b-1)(-b-1)=-1， ∴b2=2

∴a=2, 所以橢圓E的方程為.

（2）當直線l的斜率不存在時， ，，，

不符合題意，不存在這樣的直線.

當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+1. A(x1,y1) , B(x2,y2).

聯立方程，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,

由韋達定理得x1+x2=，x1x2=，

由得，(x2,y2-1)= (-x1,1-y1), ∴x2=-x1,

∴x1 =，x12 =， 解得k2=， ∴k=，

所以直線l的方程為y=x+1.