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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】已知各項都是正數的數列的前項和為,且,數列滿足,.

          (1)求數列、的通項公式;

          (2)設數列滿足,求和;

          (3)是否存在正整數,,,使得,成等差數列?若存在,求出所有滿足要求的,,,若不存在,說明理由.

          【答案】(1),;(2);(3)存在,,滿足要求.

          【解析】試題分析:

          (1)由遞推關系可得,是等差數列,其中公差為1,,通項公式為,數列是等比數列,其中首項為,公比為,.

          (2)結合(1)的結論可得,

          (3)假設存在正整數,使得成等差數列,則,

          而數列從第二項起單調遞減,分類討論:

          時,,若,無解;若,符合要求,若,無解; ,此時,可得.

          試題解析:

          (1),,

          -①得:,即

          因為是正數數列,所以,即,

          所以是等差數列,其中公差為1,

          中,令,得,

          所以,

          所以數列是等比數列,其中首項為,公比為

          所以.

          (2),裂項得,

          所以,

          (3)假設存在正整數,使得成等差數列,則,即,

          因為,所以數列從第二項起單調遞減,

          時,

          ,則,此時無解;

          ,則,因為從第二項起遞減,故,所以符合要求,

          ,則,即,不符合要求,此時無解;

          時,一定有,否則若,則,即,矛盾,

          所以,此時,令,則,所以,

          綜上得:存在,滿足要求.

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          (2)為了改良玉米品種,現采用分層抽樣的方式從抗倒伏的玉米中抽出株,再從這株玉米中選取株進行雜交實驗,選取的植株均為矮莖的概率是多少?

          ,其中

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          愿意

          不愿意

          總計

          男生

          女生

          總計

          (2)現用分層抽樣的方法從愿意參加志愿活動的市民中選取7名志愿者,再從中抽取2人作為隊長,求抽取的2人至少有一名女生的概率.

          參考數據及公式:

          .

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