Question

【題目】函數(shù)在點處的切線方程為.

（Ⅰ）求實數(shù)，的值；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ），成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)的減區(qū)間是，增區(qū)間是；（3）的取值范圍是．.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求得， 分別令，，即可求得的值；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得和，由于在區(qū)間上為增函數(shù)，且，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)，由成立，等價于，再由(Ⅱ)知當時，，即（當且僅當時取等號），即可求解實數(shù)的取值范圍．

試題解析：

(Ⅰ)，

依題意得，，則有

．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，

由于在區(qū)間上為增函數(shù)，且，

則當時，；當時，，

故函數(shù)的減區(qū)間是，增區(qū)間是．

(Ⅲ) 因為，

于是構(gòu)造函數(shù)，

，成立，等價于，

由(Ⅱ)知當時，，即對恒成立．

即（當且僅當時取等號）

所以函數(shù)，又時，，

所以．故的取值范圍是．