Question

【題目】如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，長軸左、右端點(diǎn)、在軸上，橢圓的短軸為，且、的離心率都為，直線, 與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)縱坐標(biāo)從大到小依次為、、、.

（1）設(shè)，求與的比值；

（2）若存在直線,使得，求兩橢圓離心率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合縱坐標(biāo)的值求解與的比值即可；

(2) 時(shí)的不符合題意，否則，利用直線的斜率相等得出關(guān)于離心率 的不等式，求解不等式即可球的最終結(jié)果.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>、的離心率相同，

故依題意可設(shè).

設(shè)直線分別和、的方程聯(lián)立，求得.

當(dāng)時(shí)， ，分別用、表示、的縱坐標(biāo)，可知.

（2）時(shí)的不符合題意， 時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng)的斜率與的斜率相等，即：

，解得.

因?yàn)?/span>，又，所以，解得.

∴當(dāng)時(shí)，存在直線,使得，即離心率的取值范圍是.