Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和．

（1）計(jì)算，，，；

（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）依題設(shè)可得，，，；

（2）猜想：．

證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)時(shí)，猜想成立，

即．那么，當(dāng)時(shí)，，即．

又，所以，

從而．即時(shí)，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．

【解析】試題分析：（1）采用賦值法，令，,先求，時(shí)，，求，然后令和時(shí)，分別求和；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，將前4項(xiàng)寫成，，，，觀察前4項(xiàng)的形式，猜想，最后按數(shù)學(xué)歸納法證明.

試題解析：（1）依題設(shè)可得，，，

（2）猜想：．

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)n=k（）時(shí)，猜想成立，即．

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，， 即．

又， 所以，

從而．

即n=k+1時(shí)，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．