Question

【題目】已知（），，且直線與曲線相切.

（1）求的值；

（2）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證： （）.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1) 設(shè)點(diǎn)為切點(diǎn)，列出方程求解可得， .

(2)不等式即： ，

， 必須恒成立.

設(shè)，由是增函數(shù)， ， .

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(3) 結(jié)合前面的結(jié)論，當(dāng)， 時(shí)， ，得 ，化簡得 ， .即可證得結(jié)論.

試題解析：

解：（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有

.（*）

， .（**）

由（*）、（**）兩式，解得， .

（2）由整理，得，

， 要使不等式恒成立，必須恒成立.

設(shè)， ，

， 當(dāng)時(shí)， ，則是增函數(shù)，

， 是增函數(shù)， ， .

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）證明：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有， 時(shí)， ，

即.令，得 ，

化簡得 ，