Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的極小值為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)，由此求得時，有極小值為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），令，得到，若在區(qū)間上存在一點，使得成立，即在區(qū)間上的最小值小于.對分成，，三類進(jìn)行分類討論，由此求得實數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)，令，得，

又的定義域為，由得，由，得，

所以時，有極小值為1，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2），且，令，得到，若在區(qū)間上存在一點，使得成立，即在區(qū)間上的最小值小于0．

當(dāng)，即時，恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故在區(qū)間上的最小值為，

由，得，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

當(dāng)，即時，

①，則對成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則在區(qū)間上的最小值為，

顯然，在區(qū)間上的最小值小于0不成立，

②若，即時，則有

		0
		極小值

所以在區(qū)間上的最小值，

由得，解得，即，

綜上，由①②可知：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分