Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N試問：在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

由橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)，列方程給，求出，，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，由，得，由此利用韋達(dá)定理、直線的斜率，結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點(diǎn)，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1．

橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．

，解得，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，它與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，

直線l的斜率k存在，設(shè)直線l的方程為，

由，得，

設(shè)，，

則，，

，

要使對(duì)任意實(shí)數(shù)k，為定值，則只有，

此時(shí)，，

在x軸上存在點(diǎn)，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1．