【題目】已知橢圓C：
的離心率為
，且過點
．
求橢圓的標準方程；
設(shè)直線l經(jīng)過點
且與橢圓C交于不同的兩點M，N試問：在x軸上是否存在點Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點Q的坐標及定值，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
由橢圓C：
的離心率為
，且過點
，列方程給，求出
，
，由此能求出橢圓的標準方程；
假設(shè)存在滿足條件的點
，設(shè)直線l的方程為
，由
，得
，由此利用韋達定理、直線的斜率，結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點
，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1．
橢圓C：
的離心率為，且過點
．
，解得
，
，
橢圓的標準方程為．
假設(shè)存在滿足條件的點
，
當直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意，
直線l的斜率k存在，設(shè)直線l的方程為
，
由
，得
，
設(shè)
，
，
則
，
，
，
要使對任意實數(shù)k，
為定值，則只有
，
此時，
，
在x軸上存在點，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1．
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【題目】據(jù)說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．
（1）試計算出圖案中球與圓柱的體積比；
（2）假設(shè)球半徑
．試計算出圖案中圓錐的體積和表面積.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知橢圓
：
的離心率為
，且過點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點
，點
在
軸上，過點的直線交橢圓交于
，
兩點．
①若直線
的斜率為
，且
，求點的坐標；
②設(shè)直線
，
，
的斜率分別為
，
，
，是否存在定點，使得
恒成立？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．
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【題目】如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結(jié)論：
①BD⊥AC；
②△BAC是等邊三角形；
③三棱錐D－ABC是正三棱錐；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是（ ）
A.①②④B.①②③
C.②③④D.①③④
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【題目】已知函數(shù)f(x)＝2ax－
x2－3ln x，其中a∈R，為常數(shù)．
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值．
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【題目】設(shè)相互垂直的直線
，
分別過橢圓
的左、右焦點
，
，且與橢圓
的交點分別為
、
和
、
.
（1）當的傾斜角為
時，求以為直徑的圓的標準方程；
（2）問是否存在常數(shù)
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
過點
與點
.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線
過定點
，且斜率為
，若橢圓上存在
，
兩點關(guān)于直線對稱，
為坐標原點，求
的取值范圍及
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，給出下列命題，其中正確命題的個數(shù)為
①當
時，
上單調(diào)遞增；
②當
時，存在不相等的兩個實數(shù)
，使
；
③當
時，
有3個零點．
A. 3B. 2C. 1D. 0
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