Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）由直三棱柱側(cè)棱與底面垂直可得，結(jié)合已知，得到平面，從而得到平面平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接，．由三角形中位線(xiàn)定理可得，且，得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)一步得到．由線(xiàn)面平行的判定得到平面；

（3）由已知求解直角三角形得到，求得底面積，代入三棱錐體積公式求得三棱錐的體積．

解析：（1）證明：在三棱柱中，

底面，所以.

又因?yàn)?/span>，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面

（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，.

因?yàn)?/span>，，分別是，，的中點(diǎn)，

所以，且，.

因?yàn)?/span>，且，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（3）因?yàn)?/span>，，，所以.

所以三棱錐的體積

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