Question

【題目】設相互垂直的直線，分別過橢圓的左、右焦點，，且與橢圓的交點分別為、和、.

（1）當的傾斜角為時，求以為直徑的圓的標準方程；

（2）問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，詳見解析

【解析】

（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，計算出線段的中點坐標，利用弦長公式計算出，于此得出圓心坐標和半徑長，再寫出圓的標準式方程；

（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，分別計算出和，可計算出的值，在直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為

，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式以及韋達定理計算出，同理計算出，代入題中等式計算出的值，從而說明實數(shù)存在。

（1）由題意可設的方程為，代入可得．

所以，的中點坐標為． 　

又，

所以，以為直徑的圓的方程為．

（2）假設存在常數(shù)，使得恒成立．

①當與軸垂直或與軸垂直時，

；

②設直線的方程為，則直線的方程為．

將的方程代入得：．

由韋達定理得：，，

所以．

同理可得．

所以．

因此，存在，使得恒成立．