【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知橢圓
：
的離心率為
，且過(guò)點(diǎn)
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)
，點(diǎn)
在
軸上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓交于
，
兩點(diǎn)．
①若直線(xiàn)
的斜率為
，且
，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②設(shè)直線(xiàn)
，
，
的斜率分別為
，
，
，是否存在定點(diǎn)，使得
恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）①
②存在，
；
【解析】
（1）根據(jù)橢圓離心率及過(guò)點(diǎn)，建立
方程組，求解即可（2）①設(shè)直線(xiàn)
的方程為：
,聯(lián)立橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式即可求出m,得到點(diǎn)
的坐標(biāo)②直線(xiàn)分斜率為0與不為0兩種情況討論，斜率為0時(shí)易得存在，斜率不為0時(shí)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用
恒成立，可化簡(jiǎn)知存在定點(diǎn).
（1）∵橢圓
：
的離心率為
，且過(guò)點(diǎn)
．
∴
，
，
∴橢圓的方程為：．
（2）設(shè)
，
，
①設(shè)直線(xiàn)的方程為：．
．
．
，
．
，解得
.
∴．
②當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，
，
，
.
由可得
，解得
，即.
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為
．
由
.
，
．
由可得
，
，
.
.
，
∴當(dāng)時(shí)，上式恒成立，
存在定點(diǎn)，使得恒成立．
學(xué)業(yè)測(cè)評(píng)一課一測(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】2018年9月，臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國(guó)多個(gè)省市登陸，造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶(hù)在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：
，
，
，
，
（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶(hù)的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶(hù)捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶(hù)并且損失超過(guò)4000元的農(nóng)戶(hù)中隨機(jī)抽取2戶(hù)進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶(hù)數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車(chē)輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為了研究車(chē)輛發(fā)車(chē)間隔時(shí)間
與乘客等候人數(shù)
之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：
間隔時(shí)間（ | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人數(shù)（ | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線(xiàn)性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)
，再求與實(shí)際等候人數(shù)的差，若差值的絕對(duì)值不超過(guò)1，則稱(chēng)所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.
（1）若選取的是后面4組數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程
；
（2）判斷（1）中的方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”；
（3）為了使等候的乘客不超過(guò)35人，試用（1）中方程估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少（精確到整數(shù)）分鐘？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)
，
，…，
，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】2017年“十一”期間，高速公路車(chē)輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢(xún)問(wèn)調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速（
）分成六段： 
， 
， 
， 
， 
， 
，后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；
（2）若從車(chē)速在
的車(chē)輛中任抽取2輛，求車(chē)速在的車(chē)輛恰有一輛的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在直角梯形
中，
，
，
，
為
的中點(diǎn)，如圖
將
沿
折到
的位置，使
，點(diǎn)
在
上，且
，如圖2．
求證：
平面
；
求二面角
的正切值；
在線(xiàn)段
上是否存在點(diǎn)
，使
平面
？若存在，確定的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，點(diǎn)M是棱PC上的一點(diǎn)，且AM⊥PB．
（1）求三棱錐C﹣PBD的體積；
（2）證明：AM⊥平面PBD．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A.已知直線(xiàn)
：
，
：
，則
的充分不必要條件是
B.命題“若數(shù)列
為等比數(shù)列，則數(shù)列
為等比數(shù)列”是假命題
C.棱長(zhǎng)為
正方體
中，平面
與平面
距離為
D.已知
為拋物線(xiàn)
上任意一點(diǎn)且
，若
恒成立，則
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的離心率為
，且過(guò)點(diǎn)
．
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
設(shè)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)
且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N試問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得直線(xiàn)QM與直線(xiàn)QN的斜率的和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓O上運(yùn)動(dòng)，若△PAB面積的最大值為
，橢圓O的離心率為
．
(1)求橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)B點(diǎn)作圓E：
的兩條切線(xiàn)，分別與橢圓O交于兩點(diǎn)C，D(異于點(diǎn)B)，當(dāng)r變化時(shí)，直線(xiàn)CD是否恒過(guò)某定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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