Question

【題目】已知橢圓：過(guò)點(diǎn)與點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，若橢圓上存在，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍及面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求得的值，即可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，由，即，以及根與系數(shù)的關(guān)系，得到線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程方程，求得，再利用兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，得到的表達(dá)式，即可求解.

（1）由題意，可得，解得，所以橢圓的方程為.

（2）由題意，設(shè)直線AB的方程為，

由，整理得，

所以，即，……….①

且，

所以線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為，

將代入直線方程，可得 ……… ②，

由①②可得，又，所以，

又，

且原點(diǎn)O到直線AB的距離，

所以，

所以時(shí)，最大值，此時(shí)，

所以時(shí)，最大值.