Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+a+1．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間[﹣2，3]上的值域；
（2）函數(shù)f（x）在[﹣5，5]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值g（a）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2+2ax+a+1，

當(dāng)a=1時(shí)：f（x）=x2+2x+2，x∈[﹣2，3]，

考慮函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸x=﹣1∈[﹣2，3]，

∴fmin（x）=f（﹣1）=1，

∴fmax（x）=f（3）=17；

∴函數(shù)的值域是[1，17]

（2）解：∵函數(shù)f（x）在[﹣5，5]上單調(diào)，

∴函數(shù)的對(duì)稱軸x=﹣a[﹣5，5]，

∴a∈（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）

（3）解：①當(dāng)﹣a＜0時(shí)，即a＞0函數(shù)f（x）=x2+2ax+a+1在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，

故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值是f（0）=a+1；

②當(dāng)0≤﹣a≤2時(shí)，即﹣2≤a≤0由于函數(shù)f（x）=x2+2ax+a+1對(duì)稱軸是x=﹣a，

故當(dāng)x=﹣a時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，2]上取得最小值是f（﹣a）=a2+a+1．

③當(dāng)﹣a＞2時(shí)，即a＜﹣2函數(shù)f（x）=x2+2ax+a+1在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，

故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值是f（2）=5a+5．

綜上可得 g（a）=

【解析】（1）將a=1的值代入f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)f（x）的解析式，從而求出函數(shù)的值域即可；（2）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（3）通過討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷g（a）的解析式即可．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，．