Question

【題目】設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：①；②.

(1)分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；

(2)若某2013階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為，試證：.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列，0，為三階期待數(shù)列，數(shù)列，，，為四階期待數(shù)列；(2)；(3)證明見解析.

【解析】

（1）數(shù)列，0，為三階期待數(shù)列，數(shù)列，，，為四階期待數(shù)列．

（2）設(shè)該2013階“期待數(shù)列”的公差為，由于，可得，，對分類討論，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

（3）當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)條件①得：，即，再利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得出．

解：（1）數(shù)列，0，為三階期待數(shù)列，

數(shù)列，，，為四階期待數(shù)列．

（2）設(shè)該2013階“期待數(shù)列”的公差為，

，，

，即，

，

當(dāng)時(shí)，與期待數(shù)列的條件①②矛盾，

當(dāng)時(shí)，據(jù)期待數(shù)列的條件①②可得，

，即，

，，

當(dāng)時(shí)，同理可得，，．

（3）當(dāng)時(shí)，顯然成立；

當(dāng)時(shí)，根據(jù)條件①得：，

即，

，

，2，，．