Question

在斜三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=1，則cosC的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：已知等式左邊利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系切化弦后，再利用正弦、余弦定理化簡，整理得到c²=

1

3

（a²+b²），代入表示出的cosC中，利用基本不等式即可求出cosC的最小值．

解答： 解：∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，且

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=1，
∴

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=tanC•（

cosA

sinA

+

cosB

sinB

）=tanC•

sin(A+B)

sinAsinB

=

sin2C

cosCsinAsinB

=

c2

a2+b2-c2 2ab •ab

=

2c2

a2+b2-c2

=1，
整理得：a²+b²=3c²，即c²=

1

3

（a²+b²），
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2- 1 3 (a2+b2)

2ab

=

a2+b2

3ab

≥

2ab

3ab

=

2

3

，
則cosC的最小值為

2

3

．
故答案為：

2

3

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．