Question

在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知asinB=3csinA，c=2，且c，a-1，b+2依次成等比數(shù)列．
（1）求a的大��；
（2）求cos（2A+

π

3

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）由asinB=3csinA，利用正弦定理可得b=3c，利用c=2求出b，再利用c，a-1，b+2依次成等比數(shù)列，求出a的大小；
（2）由余弦定理可得cosA，從而可得sinA，進(jìn)而可得cos2A，sin2A，從而可求cos（2A+

π

3

）的值．

解答： 解：（1）∵asinB=3csinA，
∴ab=3ca，
∴b=3c，
∵c=2，
∴b=6，
∵c，a-1，b+2依次成等比數(shù)列，
∴（a-1）²=2•（6+2），
∴a=5；
（2）由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

5

8

，
∴sinA=

39

8

，
∴cos2A=cos²A-sin²A=-

7

32

，sin2A=

5 39

32

，
∴cos（2A+

π

3

）=cos2Acos

π

3

-sin2Asin

π

3

=-

7+15 13

64

．

點(diǎn)評：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查和角的余弦公式，屬于中檔題．