Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sinφcos²x+cosφsin2x-sinφ（0＜φ＜π）在x=

π

6

時取得最大值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對稱，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由二倍角的余弦公式及兩角和的正弦公式化簡，再由在x=

π

6

時取得最大值，結(jié)合φ得范圍求得φ，則函數(shù)解析式可求；
（2）設(shè)出函數(shù)g（x）的圖象上的點的坐標(biāo)，由對稱性求得函數(shù)g（x）的解析式，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=2sinφcos²x+cosφsin2x-sinφ
=sinφ（1+cos2x）+cosφsin2x-sinφ
=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ）．
∵x=

π

6

時f（x）求得最大值，
∴2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，即φ=2kπ+

π

6

．
又因0＜φ＜π，所以=

π

6

．
于是函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=sin(2x+

π

6

)，其最小正周期為π；
（2）設(shè)（x，y）是函數(shù)g（x）圖象上任一點，
則其關(guān)于直線x=

π

12

的對稱點為(

π

6

-x，y)，該點在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴y=sin[2(

π

6

-x)+

π

6

]=sin(

π

2

-2x)=cos2x，
于是g（x）=cos2x．
由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈Z．
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

2

，kπ](k∈Z)．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象及圖象變換，考查了三角函數(shù)的倍角公式及兩角和的正弦，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，是中檔題．