Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】試題分析：（1）第（1）問 ，先把問題轉(zhuǎn)化成的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求出 的單調(diào)性，通過圖像分析得到a的取值范圍.(2)第（2）問，先通過函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分析出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，再通過圖像研究得到它的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

試題解析：（1）令，由題意知的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

.

當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.

∴.

又∵時(shí)，，∴時(shí)，.

又∵時(shí)，.

綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

由，得有兩個(gè)不同的根，（設(shè)）.

由（1）知，，，且，

且函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則 .

令，

則 ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，.又，；，，

所以函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn).