Question

【題目】已知橢圓：1（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓的右頂點(diǎn)與下頂點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的面積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，動(dòng)直線與橢圓交于軸同一側(cè)的兩點(diǎn)，且滿足，試問直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）不存在，見解析

【解析】

(1)由題意可求得圓的半徑為，由面積公式,可解得,由,可得,由即可求出橢圓方程;

(2) 所以設(shè)的方程：,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用得,即可求出所得,驗(yàn)證是否符合條件即可.

（1）由題意得：橢圓的右頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)，所以橢圓的右頂點(diǎn)與下頂點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的半徑為，所以，即：；，即，而所以

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1；

（2）由題意得直線的斜率存在且不為零，

所以設(shè)的方程：，

代入橢圓方程整理得： ,，

因?yàn)?/span>得，

而， ，

所以即：，

所以，

所以，所以直線，與橢圓聯(lián)立，時(shí)，，與橢圓相切，過上頂點(diǎn)與時(shí)，斜率為，所以在軸同一側(cè)時(shí)斜率在，而這時(shí)不滿足，所以不存在符合題意條件的定點(diǎn)．