Question

【題目】已知點及圓.

（1）設(shè)過點的直線與圓交于兩點，當(dāng)時，求以線段為直徑的圓的方程；

（2）設(shè)直線與圓交于兩點，是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) （2）不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦

【解析】試題分析：（1）由利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據(jù)弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，半徑為|MN|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可；（2）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明證明即可．

試題解析：

（Ⅰ）由于圓的圓心，半徑為， ，而弦心距，

所以，所以為的中點，

所以所求圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，

故以為直徑的圓的方程為： ．

（Ⅱ）把直線及代入圓的方程，消去，整理得：

，

由于直線交圓于， 兩點，

故，即，解得．

則實數(shù)的取值范圍是．

設(shè)符合條件的實數(shù)存在，

由于垂直平分弦，故圓心必在直線上，

所以的斜率，所以，

由于，

故不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦．