Question

【題目】若存在不為零的常數(shù)，使得函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任一均有，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，其中常數(shù)就是函數(shù)的一個(gè)周期.

（1）證明：若存在不為零的常數(shù)使得函數(shù) 對(duì)定義域內(nèi)的任一均有，則此函數(shù)是周期函數(shù).

（2）若定義在上的奇函數(shù)滿足，試探究此函數(shù)在區(qū)間

內(nèi)零點(diǎn)的最少個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)4035.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)所給出的周期函數(shù)的定義證明即可，由題意可得 ，從而可得結(jié)論。（2）由條件可得函數(shù)的周期為2，故，又，故；根據(jù)題意得，故，從而可得 ，在此基礎(chǔ)上可得函數(shù)零點(diǎn)的最少個(gè)數(shù)。

試題解析：

（1）證明：∵，

∴

即,

∴函數(shù)是周期函數(shù)，且是函數(shù)的一個(gè)周期.

（2）解：∵，

由（1）可知函數(shù)是周期函數(shù)，且是函數(shù)的一個(gè)周期,

即，

又函數(shù)是上的奇函數(shù)，

∴。

∴ ……①

又，

∴，

∴ ……②

由①②有 .

又，

∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)最少有個(gè)。