Question

【題目】已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn). 設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）是否存在這樣的直線，使得的面積為，若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在這樣的直線：或.

【解析】

（1）由可求得，再由離心率求得，最后由公式可得，從而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）假設(shè)存在，分析斜率一定存在，設(shè)其方程為，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)，

聯(lián)立消去得， 注意，得的范圍，由韋達(dá)定理得. 由圓錐曲線中弦長公式求得弦長，求得點(diǎn)到直線的距離，表示出三角形的面積，由解得，說明存在．

（1）設(shè)，因?yàn)橹本�的斜率為，

所以，.

又，解得，

所以橢圓的方程為.

（2）當(dāng)軸時(shí)，不合題意，由題意可設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立消去得，

當(dāng)，所以，即或時(shí) ，

.

所以 ，

點(diǎn)到直線的距離，

所以，

設(shè)，則，

，解得或，即，

所以存在這樣的直線：或.