Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)，是大于0的常數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.

（1）求圓的極坐標方程和圓的直角坐標方程；

（2）分別記直線：，與圓、圓的異于原點的交點為，，若圓與圓外切，試求實數(shù)的值及線段的長.

Answer 1

【答案】（1）圓的極坐標方程為，的直角坐標方程為（2），

【解析】

（1）利用消去參數(shù)，求得圓的普通方程，進而轉化為極坐標方程.利用，以及兩角差的余弦公式，將圓的極坐標方程轉化為直角坐標方程.

（2）先求得兩個圓的圓心和半徑，利用兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑之和列方程，解方程求得的值.將分別代入的極坐標方程，利用的幾何意義，求得線段的長.

（1）圓：（是參數(shù)）消去參數(shù)，

得其普通方程為，

將，代入上式并化簡，

得圓的極坐標方程為.

由圓的極坐標方程，得.

將，，代入上式，

得圓的直角坐標方程為.

（2）由（1）知圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑，

，

∵圓與圓外切，

∴，解得，

即圓的極坐標方程為，

將代入，得，

得，

將代入，得，得，

故.