Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 設(shè)分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓的半徑的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意得e，①因?yàn)辄c(diǎn)橢圓C上，所以，②又b2＝a2﹣c2，③把①②③組成方程組，解得a，b，c，進(jìn)而可以寫(xiě)出橢圓方程；

（2）因?yàn)?/span>，所以，所以4a×r＝c×|﹣|，所以r|﹣|，設(shè)直線l方程為ykx，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線l與橢圓的方程得（k2+4）x2﹣2 kx﹣1＝0，由韋達(dá)定理得出|﹣|的最大值，即可求出答案．

解：（1）根據(jù)題意得e，①

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，②

又b2＝a2﹣c2，③

把①②③組成方程組，解得a2＝4，b2＝1，c2＝3

所以橢圓方程為．

（2）設(shè)直線l方程為ykx， A（x1，y1），B（x2，y2），

因?yàn)?/span>，

所以，

所以4a×r＝c×|﹣|，

所以r|﹣|，

聯(lián)立直線l與橢圓的方程得（k2+4）x2﹣2 kx﹣1＝0，

所以，，

所以|﹣|，

＝444，

由基本不等式得（k2+1）26（當(dāng)且僅當(dāng)，即k2＝2，取“＝”），

所以|﹣|，

rmax．