Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為直角梯形，，，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，為上一點，且.

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）連接交于點,連接,利用相似證得,進而得證；

（2）以為坐標(biāo)原點,所在的方向分別為軸、軸的正方向,與均垂直的方向作為軸的正方向,利用平面法向量求解二面角余弦值即可

解：（1）連接交于點,連接,

因為,所以與相似,

所以,

又,所以,

因為平面,平面,

所以直線平面

（2）由題,因為平面平面,平面平面,平面,,所以平面,

以為坐標(biāo)原點,所在的方向分別為軸、軸的正方向,與均垂直的方向作為軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因為,,

則,,,,

所以,,,

設(shè)平面的一個法向量為,則

,即,

令,得,,于是,

設(shè)平面的一個法向量為,則

,即,

令,得,,于是,

設(shè)二面角的平面角的大小為,則,

所以二面角的余弦值為