Question

已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ln（1+ax）-

2x

x+2

．
（Ⅰ）討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且f（x₁）+f（x₂）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)a分類討論；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，注意a的討論及利用換元法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題解決．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）-

2x

x+2

．
∴f′（x）=

a

1+ax

-

4

(x+2)2

=

ax2-4(1-a)

(1+ax)(x+2)2

，
∵（1+ax）（x+2）²＞0，∴當(dāng)1-a≤0時(shí)，即a≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由f′（x）=0得x=±

2 a(1-a)

a

，則函數(shù)f（x）在（0，

2 a(1-a)

a

）單調(diào)遞減，在（

2 a(1-a)

a

，+∞）單調(diào)遞增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)f（x）不存在極值點(diǎn)．
因此要使f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，則必有0＜a＜1，又f（x）的極值點(diǎn)值可能是x₁=

2 a(1-a)

a

，x₂=-

2 a(1-a)

a

，
且由f（x）的定義域可知x＞-

1

a

且x≠-2，
∴-

2 a(1-a)

a

＞-

1

a

且-

2 a(1-a)

a

≠-2，解得a≠

1

2

，則x₁，x₂分別為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
∴f（x₁）+f（x₂）=ln[1+ax₁]-

2x1

x1+2

+ln（1+ax₂）-

2x2

x2+2

=ln[1+a（x₁+x₂）+a²x₁x₂]-

4x1x2+4(x1+x2)

x1x2+2(x1+x2)+4

=ln（2a-1）²-

4(a-1)

2a-1

=ln（2a-1）²+

2

2a-1

-2．
令2a-1=x，由0＜a＜1且a≠

1

2

得，
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，-1＜x＜0；當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，0＜x＜1．
令g（x）=lnx²+

2

x

-2．
（i）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）=2ln（-x）+

2

x

-2，∴g′（x）=

2

x

-

2

x2

=

2x-2

x2

＜0，
故g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，g（x）＜g（-1）=-4＜0，
∴當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x₁）+f（x₂）＜0；
（ii）當(dāng)0＜x＜1．g（x）=2lnx+

2

x

-2，g′（x）=

2

x

-

2

x2

=

2x-2

x2

＜0，
故g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（1）=0，
∴當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x₁）+f（x₂）＞0；
綜上所述，a的取值范圍是（

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求極值的能力，考查分類討論思想及轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用和運(yùn)算能力，邏輯性綜合性強(qiáng)，屬難題．