Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在線段CC₁上，直線OP與平面A₁BD所成的角為α，則sinα的取值范圍是（　�。�

• A、[

  3

  3

  ，1]
• B、[

  6

  3

  ，1]
• C、[

  6

  3

  ，

  2 2

  3

  ]
• D、[

  2 2

  3

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：由題意可得：直線OP于平面A₁BD所成的角α的取值范圍是[∠AOA1，

π

2

]∪[∠C1OA1，

π

2

]．再利用正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： 解：由題意可得：直線OP于平面A₁BD所成的角α的取值范圍是[∠AOA1，

π

2

]∪[∠C1OA1，

π

2

]．
不妨取AB=2．
在Rt△AOA₁中，sin∠AOA1=

AA1

A1O

=

2

22+( 2 )2

=

6

3

．
sin∠C₁OA₁=sin（π-2∠AOA₁）=sin2∠AOA₁=2sin∠AOA₁cos∠AOA₁=2×

6

3

×

3

3

=

2 2

3

＞

6

3

，
sin

π

2

=1．
∴sinα的取值范圍是[

6

3

，1]．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可、線面角的求法，考查了推理能力，屬于中檔題．