Question

【題目】如圖，底面是邊長為2且的菱形，平面，，且，.

（1）求證：平面平面；

（2）點(diǎn)在線段上，且三棱錐的體積是三棱錐的體積的兩倍，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）.

【解析】

（1）證明平面，即可由線面垂直得面面垂直（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)法向量夾角公式即可求解.

（1）因?yàn)?/span>平面，，所以平面，

故

又四邊形為菱形，故

故平面，又平面，

因此平面平面

（2）解法一：取線段中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，所以

則點(diǎn)，，，，

，，

設(shè)平面的法向量為，則

可取

設(shè)平面的法向量為，則

可取

故

因此二面角的正弦值為.

解法二：前同法一，平面的法向量為

點(diǎn)到平面的距離

作于點(diǎn)，由，得

因此二面角的正弦值為，即.