Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若，證明：當時，；

（2）若對于任意的且，都有，求的取值集合.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）將問題轉化為當時，，利用導數(shù)得到的單調(diào)性和最值，進行證明；（2）通過函數(shù)端值得到，將問題等價于當時，，對進行分類，通過導數(shù)得到的單調(diào)性，從而得到符合要求的.

（1）當時，，

要證當時，，

即證當時，

令，

當時，，在內(nèi)單調(diào)遞減

當時，，在內(nèi)單調(diào)遞增，

故.證畢.

(2)先分析端值，當時，，，

要使，需有，即；

當時，，，

要使，需有；

故必須有.

由知其分子恒正，

令，

于是問題等價于當時，；

當時，.

注意到.

①當時，

此時當時，，在單調(diào)遞減，

于是，這不符合題意；

②當時，，得，.

（i）當時，，，在單調(diào)遞增，

結合可知符合題意；

（ii）當時，，此時當時，

于是在在單調(diào)遞減，

故在內(nèi)，這不符合題意；

（iii）當時，，此時當時，

于是在在單調(diào)遞減，

故在內(nèi)，這不符合題意；

綜上：符合題意的取值集合為.