Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上為減函數(shù)，證明見解析；（3）

【解析】

（1）由是上的奇函數(shù)，可得，可求出的值；

（2）由（1）可知的表達(dá)式，任取，且，比較與0的大小關(guān)系，可得出函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由是奇函數(shù)，可將不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)是上的減函數(shù)，可知對一切，恒成立，令即可求出答案.

（1）因為是上的奇函數(shù)，所以，即，即.

經(jīng)驗證，

故時，滿足題意.

（2）由（1）知，，

任取，且，則，

函數(shù)在上是增函數(shù)，所以.

又，則，即，

∴在上為減函數(shù).

（3）因為是奇函數(shù)，從而不等式等價于，

又因為為上減函數(shù)，所以由上式推得，

即對一切，恒成立，

則，即.