Question

【題目】已知橢圓：的左右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為、，且，橢圓的焦距長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，分別記，的面積為、，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓方程,根據(jù),可得方程組,求得的等量關(guān)系,結(jié)合焦距長(zhǎng)即可求得,得橢圓方程.

（2）討論直線斜率存在與不存在兩種情況.當(dāng)斜率不存在時(shí),易求得,即可求得;當(dāng)斜率存在時(shí),用點(diǎn)斜式表示出直線方程,聯(lián)立橢圓,整理成關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理表示出.結(jié)合直線方程,即可表示出.將等式變形,結(jié)合基本不等式即可求得最大值.

（1）橢圓：,點(diǎn)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)

設(shè)點(diǎn),則,①

∵,②

∴聯(lián)立①②得,

∴,

又∵,∴,

∴,即,

∴,∴,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意知,

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,于是,

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線：,

聯(lián)立,得.

設(shè),,根據(jù)韋達(dá)定理,得,,

于是

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

綜上,的最大值為.