Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，，且（），數(shù)列滿足，，對任意，都有；

（1）求數(shù)列、的通項公式；

（2）令，若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1），；（2）；

【解析】

(1)利用，再寫一式，兩式相減，再利用累乘法即可求數(shù)列的通項公式；由題意判斷數(shù)列為等比數(shù)列，直接寫出通項公式； (2)利用錯位相減法求數(shù)列的和，在將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

(1)因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，，兩式相減得，

所以，即，

所以，

滿足上式，故數(shù)列的通項公式.

由題意知是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.

(2)因?yàn)?/span>①，

所以②，

由①②得

所以.

又，所以不等式

即為，即恒成立，

構(gòu)造函數(shù)（），

當(dāng)時，恒成立，則滿足條件；

當(dāng)時，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；

當(dāng)時，由于，則在上單調(diào)遞減，恒成立，則滿足條件，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是