Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，平面，，，，， 分別為，，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題（1）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.（2）證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：（1）證明：,分別為，的中點(diǎn)，

.

又平面，平面，

平面.

（2）解:平面，，平面

平面，.

四邊形是正方形，.

以為原點(diǎn),分別以直線為軸, 軸,軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

,

，，，，，,

,.

，， 分別為，，的中點(diǎn)，

，，,,

（解法一）設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則,

即，令，得.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,

即，令，得.

所以==.

所以平面與平面所成銳二面角的大小為（或）

（解法二），,

是平面一個(gè)法向量.

，,

是平面平面一個(gè)法向量.

平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.

（解法三）延長(zhǎng)到使得連

，，

四邊形是平行四邊形，

四邊形是正方形，

，分別為，的中點(diǎn)，

平面，平面， 平面.

平面平面平面

故平面與平面所成銳二面角與二面角相等.

平面平面

平面是二面角的平面角.

平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.