Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，().

（i）求的取值范圍；

（ii）求證:隨著的增大而增大.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論即可求解；

（2）（i）結(jié)合（1）的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點(diǎn)求解參數(shù)取值范圍；（ii）設(shè)，通過轉(zhuǎn)化，討論函數(shù)的單調(diào)性得證.

（1）因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，的解集為，的解集為，

所以的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；

（2）（i）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，至多一個零點(diǎn)，不符題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>有兩個零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?/span>，且，所以存在，使得，又因?yàn)?/span>，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?/span>，所以存在，使得，綜上，；（ii）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以單調(diào)遞增，即隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，命題得證.