【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）當
，
時，求函數(shù)
在
處的切線方程，并求函數(shù)的最大值；
（2）若函數(shù)
的兩個零點分別為
，
，且
，求證：
.
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）當
時，求得斜率和切點的坐標，利用點斜式寫出切線方程.根據(jù)函數(shù)的導數(shù)求得函數(shù)的單調區(qū)間，由此求得函數(shù)的最大值.（2）將兩個零點代入函數(shù)
的解析式，將得到兩個方程相減，化簡為
的表達式，通過令
，將所要證明的不等式轉化為證明
，構造函數(shù)
，利用導數(shù)證明
，由此證得原不等式成立.
（1）解：當
，
時，
，
，
則
，切點為
，故函數(shù)
在
處的切線方程為
.
令
，則在
是減函數(shù)，
又
，∴
，
，
，
，
，
，
在
上是增函數(shù)，在
是減函數(shù)，
.
（2）證明：∵
，
是的兩個零點，不妨設
，
∴
，
，
，
∴
，
，
相減得：
，
，
∴
，
令，即證
，
，
，
令，
，
，
在上是增函數(shù)，又∵
，
∴，
，命題得證.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】華為董事會決定投資開發(fā)新款軟件，估計能獲得
萬元到
萬元的投資收益，討論了一個對課題組的獎勵方案:獎金
(單位:萬元)隨投資收益
(單位:萬元)的增加而增加，且獎金不超過
萬元，同時獎金不超過投資收益的
.
（1）請分析函數(shù)
是否符合華為要求的獎勵函數(shù)模型，并說明原因；
（2）若華為公司采用模型函數(shù)
作為獎勵函數(shù)模型，試確定正整數(shù)
的取值集合.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的極坐標方程和的直角坐標方程；
（2）設
是曲線上一點，此時參數(shù)
，將射線
繞原點逆時針旋轉
交曲線于點
，記曲線的上頂點為點
，求
的面積.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知等差數(shù)列
的前n項和
，且滿足
，
，數(shù)列
是首項為2，公比為q（
）的等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設正整數(shù)k，t，r成等差數(shù)列，且
，若
，求實數(shù)q的最大值；
（3）若數(shù)列
滿足
，
，其前n項和為
，當
時，是否存在正整數(shù)m，使得
恰好是數(shù)列中的項？若存在，求岀m的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若二次函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)滿足g(x＋1)＝2x＋g(x)，且g(0)＝1.
（1）求g(x)的解析式；
（2）若在區(qū)間[－1,1]上，不等式g(x)-t>2x恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量
（百千克）與某種液體肥料每畝使用量
（千克）之間的對應數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.
（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請計算相關系數(shù)
并加以說明（若
，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）；
（2）求關于的回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？
附：相關系數(shù)公式
，參考數(shù)據(jù)：
，
.
回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）討論
的單調性并指出相應單調區(qū)間；
（2）若
，設
是函數(shù)
的兩個極值點，若
，且
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設函數(shù)
，
，
.
（1）求函數(shù)
的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)
有兩個零點
，
(
).
（i）求
的取值范圍；
（ii）求證:
隨著
的增大而增大.
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