Question

【題目】（本題滿分16分）已知，，都是各項不為零的數(shù)列，且滿足，，其中是數(shù)列的前項和，是公差為的等差數(shù)列．

（1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項公式；

（2）若（是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若（為常數(shù)，）， ，求證：對任意的，數(shù)列單調遞減．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析；

【解析】

試題（1）由已知條件可化得數(shù)列的前和，再作差求得通項，要注意分類討論；（2）與（1）的思路相同，利用和作差，得到項之間的關系式，進而表示出數(shù)列的通項，利用等差數(shù)列的定義進行證明，還應注意補充說明；（3）由（2）中和作差后的通項間的關系式可推得與的關系式，則證得從第2項起成等比數(shù)列，求得其通項公式，同時也求得數(shù)列從第二項起是等差數(shù)列，所以從第2項起為差比數(shù)列，通過作差或作商可以研究它的單調性；

試題解析：（1）因為，，所以，

因為數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列，所以，，

則由及得，

當時，，兩式相減得，

當時，，也滿足，故．

（2）因為，

當時，，兩式相減得，

即，，即，

又，所以，

即，

所以當時，，兩式相減得 ，

所以數(shù)列從第二項起是公差為等差數(shù)列；

又當時，由得，

當時，由得，

故數(shù)列是公差為等差數(shù)列．

（3）由（2）得當時，，即，

因為，所以，即，所以，即，

所以，

當時，，兩式相減得，

即，故從第二項起數(shù)列是等比數(shù)列，

所以當時，，

，

另外由已知條件得，又，，，

所以，因而，令 ，則 ，

因為，所以，所以對任意的，數(shù)列單調遞減．