Question

【題目】若給定橢圓和點(diǎn)，則稱直線為橢圓C的“伴隨直線”．

（1）若在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關(guān)系（當(dāng)直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)時(shí)，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交），并說明理由；

（2）命題：“若點(diǎn)在橢圓C的外部，則直線與橢圓C必相交．”寫出這個(gè)命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；

（3）若在橢圓C的內(nèi)部，過N點(diǎn)任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交于M點(diǎn)（異于A、B），設(shè)，問是否為定值？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）l與橢圓C相切．見解析（2）逆命題：若直線與橢圓C相交，則點(diǎn)在橢圓C的外部．是真命題．見解析（3）為定值0，見解析

【解析】

（1） ，由根的差別式能得到l與橢圓C相切．

（2）逆命題：若直線與橢圓C相交，則點(diǎn)在橢圓C的外部．是真命題．聯(lián)立方程得．由，能求出在橢圓C的外部．

（3）此時(shí)與橢圓相離，設(shè)則代入橢圓，利用M在上，得．由此能求出．

解：（1）

即

∴

∴與橢圓C相切．

（2）逆命題：若直線與橢圓C相交，

則點(diǎn)在橢圓C的外部．

是真命題．聯(lián)立方程得

則

∴

∴

∴在橢圓C的外部．

（3）同理可得此時(shí)與橢圓相離，設(shè)

則代入橢圓，利用M在上，

即，整理得

同理得關(guān)于的方程，類似．

即是的兩根

∴．