Question

如圖，四棱錐S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,點E是SD上的點，且DE＝a(0<≦1).    
(Ⅰ)求證：對任意的（0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小為60⁰C，求的值。

Answer 1

(Ⅰ) 略（Ⅱ）

本小題主要考察空間直線與直線、直線與平面的位置關系和二面角等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。（滿分12分）
（Ⅰ）連接BD，由底面是正方形可得ACBD。
SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂線定理得ACBE.
(II)SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。
過點D在平面SAD內做DFAE于F，連接CF，則CFAE，
故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°
在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由cot60°=
得，      即=3    
，解得=