Question

如圖，在三棱錐A-BOC中，AO⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2

2

，動點D在線段AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）當(dāng)點D運動到線段AB的中點時，求二面角D-CO-B的大小；
（Ⅲ）當(dāng)CD與平面AOB所成角最大時，求三棱錐C-OBD的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，∴OC=OB=2．（2分）
∵BC=2

2

，∴OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．（4分）
∵OC?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．（5分）
（Ⅱ）：由（Ⅰ）知OC⊥平面AOB，
∴OC⊥OB，OC⊥OD，
∴∠DOB是二面角D-CO-B的平面角．（7分）
∵D為AB的中點，∴OD=2，BD=2，
又OB=2，∴∠DOB=60°，
∴二面角D-CO-B的大小為60°．（9分）
（Ⅲ）：∵OC⊥平面AOB，CD交平面AOB于D，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成角．（10分）
tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

，據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)OD最小時，∠CDO最大，
∴取OD⊥AB，OD=

3

為最小值，此時，BD=1．（12分）
∴V_C-OBD=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．
即CD與平面AOB所成角最大時，三棱錐C-OBD的體積為

3

3

．（14分）