Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求證：
（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD⊥平面PBD．

Answer 1

證明：（1）因?yàn)镻B⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA．因PB?平面BPC，MA不在平面BPC內(nèi)，所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，因?yàn)镸A?平面AMD，AD?平面AMD，MA∩AD=A，所以平面AMD∥平面BPC．（6分）
（2）連接AC，設(shè)AC∩BD=E，取PD中點(diǎn)F，連接EF，MF．
因ABCD為正方形，所以E為BD中點(diǎn)．
因?yàn)镕為PD中點(diǎn)，所以EF

∥ .

.

1

2

PB．因?yàn)锳M

∥ .

.

1

2

PB，所以AM

∥ .

.

EF．
所以AEFM為平行四邊形．所以MF∥AE．因?yàn)镻B⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PB⊥AE．所以MF⊥PB．
因?yàn)锳BCD為正方形，所以AC⊥BD．所以MF⊥BD．
所以MF⊥平面PBD．又MF?平面PMD．
所以平面PMD⊥平面PBD．（14分）