Question

設拋物線E：x²=2y，圓N：x²+（y-4）²=1
（1）若斜率為1，且過圓心N的直線l與拋物線E相交于P，Q兩點，求|PQ|；
（2）點M是拋物線E上異于原點的一點，過點M作圓N的兩條切線，切點分別為A，B，與拋物線E交于D，C兩點，若四邊形ABCD為梯形，求點M的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）斜率為1，且過圓心N的直線l的方程為y=x+4，代入拋物線方程，求出P，Q的橫坐標，即可求|PQ|；
（2）求出過點M的圓N的切線方程，圓心N（0，4）到切線的距離，切線與拋物線聯立，求出CD的斜率，若四邊形ABCD是梯形，則由MN⊥AB知，MN⊥CD，所以k_MN•k_CD=-1，即可求點M的坐標．

解答： 解：（1）斜率為1，且過圓心N的直線l的方程為y=x+4，
由

x2=2y y=x+4

得 x²-2x-8=0，----------------（2分）
則x₁=-2，x₂=4，得|PQ|=

2

|x1-x2|=6

2

---------------------（4分）
（2）設M(x0，

x 2 0

2

)(x0≠0，x0≠±1)，過點M的圓N的切線方程為y-

x 2 0

2

=k(x-x0)，
即2kx-2y-2kx0+

x

2 0

=0，則圓心N（0，4）到切線的距離d=

| x 2 0 -2kx0-8|

4k2+4

=1，-------------（6分）
得(4-4

x

2 0

)k2+4x0(

x

2 0

-8)k+4-(

x

2 0

-8)2=0（*），
∴k_MC，k_MD是（*）的兩根，kMC+kMD=

x0( x 2 0 -8)

x 2 0 -1

，
由

2kx-2y-2kx0+ x 2 0 =0 x2=2y

得x2-2kx+2kx0-

x

2 0

=0，
∴

xD+x0=2kMD xC+x0=2kMC

，
∴x_C+x_D=2（k_MC+k_MD）-2x₀，
∴kCD=

x 2 C 2 - x 2 D 2

xC-xD

=

xC+xD

2

=(kMC+kMD)-x0=

7x0

1- x 2 0

，------------（10分）
若四邊形ABCD是梯形，則由MN⊥AB知，MN⊥CD，所以k_MN•k_CD=-1，--------------（12分）
∴

7x0

1- x 2 0

•

x 2 0 2 -4

x0

=-1⇒

x

2 0

=

54

5

⇒x0=±

3 30

5

，
故M（

3

5

30

，

27

5

）或M（-

3

5

30

，

27

5

）-------------（14分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．