Question

已知函數(shù)f(x)=1+lnx+

k

x

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）＞k在x∈（1，+∞）時(shí)恒成立，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)定義域，然后分k≤0，k＞0兩種1情況討論，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）f（x）＞k在x∈（1，+∞）時(shí)恒成立，等價(jià)于f（x）_min＞k，分k≤1，k＞1兩種情況討論，利用（Ⅰ）的結(jié)論可求得f（x）_min；

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

x

-

k

x2

=

x-k

x2

；
①當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
②當(dāng)k＞0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＞k，由f′（x）＜0，得0＜x＜k；
綜上，當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，k），單調(diào)遞增區(qū)間為（k，+∞）．
（Ⅱ）f（x）＞k，
①當(dāng)k≤1時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（1）=1+k，則1+k≥k恒成立，
∴此時(shí)k≤1；
②當(dāng)k＞1時(shí)，由（I）知，f（x）在（1，k）上遞減，在（k，+∞）上遞增，
∴f（x）_min=f（k）=1+lnk+1=2+lnk，
則2+lnk＞k，即2+lnk-k＞0，
令g（k）=2+lnk-k，k∈（1，+∞），
g′（k）=

1

k

-1＜0，
∴g（k）在（1，+∞）上遞減，且g（3）=ln3-1＞0，g（4）=ln4-2＜0，
∴?x₀∈（3，4），使g（x₀）=0，
故由g（k）＞0，可得1＜k＜x₀；
綜上，k＜x₀，
故要使f（x）＞k在x∈（1，+∞）時(shí)恒成立，最大整數(shù)k=3．

點(diǎn)評：該題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，求單調(diào)區(qū)間注意定義域；解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究．