Question

【題目】如圖，已知是直角梯形，，垂直于平面，，．

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求平面與平面所成銳二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

解法1：（1）根據(jù)已知利用線面垂直的判定定理可以證明出平面，根據(jù)可以得到到平面的距離等于到平面的距離，最后利用線面角的定義求出直線與平面所成角的正弦值；

（2）延長(zhǎng)，，設(shè)點(diǎn)是它們的交點(diǎn)，連接，則所求二角角延展為二面角．利用線面垂直的判定定理、二面角的定義可以證明出是二面角的平面角，最后利用正切函數(shù)的定義求出平面與平面所成銳二面角的正切值．

解法2：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

（1）利用空間向量夾角公式求出直線與平面所成角的正弦值；

（2）利用空間向量夾角公式求出平面與平面所成銳二面角的余弦值，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系式求出平面與平面所成銳二面角的正切值．

解法1：（1）因?yàn)?/span>，，所以平面，于是到平面的距離為．

因?yàn)?/span>，所以到平面的距離等于到平面的距離等于．

由題設(shè)，所以直線與平面所成角的正弦值為．

（2）延長(zhǎng)，，設(shè)點(diǎn)是它們的交點(diǎn)，連接，則所求二角角延展為二面角．

因?yàn)?/span>，，所以平面．在平面內(nèi)過(guò)作于點(diǎn)，連接，所以有，因此有平面,所以，于是是二面角的平面角．

由題設(shè)，，所以AF＝，所以tan∠AFD＝ .

故平面與平面所成二面角的正切值為．

解法2：（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

由已知得，，，，，．

平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)?/span>，

因此直線與平面所成角的正弦值為．

（2）設(shè)平面的法向量為，．由，得，

可取．取平面的法向量為．

所以．所以，

由圖知平面與平面所成二面角銳二面角，所以正切值為．