Question

【題目】設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，是焦點(diǎn)，離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，且，問(wèn)線段的垂直平分線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）過(guò)，

【解析】

（1）由條件可知，并且點(diǎn)代入橢圓方程，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，則，與橢圓方程聯(lián)立，求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，

并表示線段的垂直平分線方程，利用條件，求得直線所過(guò)的定點(diǎn)，并說(shuō)明當(dāng)斜率不存在時(shí)，也滿足.

（1）由于橢圓的離心率為，，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，得，

因此，橢圓的方程為；

（2）由題意知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則.

將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得.

由韋達(dá)定理可得，①，

所以，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

則線段的垂直平分線方程為，即，

即，此時(shí)，線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的垂直平分線就是軸，也過(guò)點(diǎn)；

綜上所述，線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn).