Question

【題目】2018年全國(guó)數(shù)學(xué)奧賽試行改革：在高二一年中舉行5次全區(qū)競(jìng)賽，學(xué)生如果其中2次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn)，不用參加其余的競(jìng)賽，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次競(jìng)賽.規(guī)定：若前4次競(jìng)賽成績(jī)都沒有達(dá)全區(qū)前20名，則第5次不能參加競(jìng)賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名的概率都是，每次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名與否互相獨(dú)立.

（1）求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.

（2）如果該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)或參加完5次競(jìng)賽就結(jié)束，記該學(xué)生參加競(jìng)賽的次數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列詳見解析， .

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合對(duì)立事件概率公式可得：該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率為；

(2)由題意可知的可能取值為2,3,4,5，求解相應(yīng)的概率值得到分布列，結(jié)合分布列計(jì)算可得的數(shù)學(xué)期望為.

試題解析：

（1）記“該生進(jìn)入省隊(duì)”的事件為事件，其對(duì)立事件為，則.

∴.

（2）該生參加競(jìng)賽次數(shù)的可能取值為2,3,4,5.

， ，

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故的分布列為：

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