Question

【題目】已知， 是的導(dǎo)函數(shù).

（1）求的極值；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立；

（3）若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得處，進(jìn)而，分和兩種情況討論，即可求解；

（Ⅱ）由，則要證 ，只需證.

令，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的性質(zhì)，即可作出證明．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知恒成立，可得，分和兩種情況討論，即可求解實(shí)數(shù)的值．

試題解析：

（Ⅰ）， ， ，

當(dāng)時(shí)， 恒成立， 無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)， ，即，

由，得；由，得，

所以當(dāng)時(shí)，有極小值.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，要證 ，只需證.

令，則，且，得； ，得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

∴，即恒成立,

∴對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有 恒成立.

（Ⅲ）令，則，注意到，

由（Ⅱ）知恒成立，故，

①當(dāng)時(shí)， ， ，

于是當(dāng)時(shí)， ，即成立.

②當(dāng)時(shí)，由（）可得（）.

，

故當(dāng)時(shí)， ，

于是當(dāng)時(shí)， ， 不成立.

綜上， 的取值范圍為．