Question

已知.
（Ⅰ）求函數(shù)在上的最小值；
（Ⅱ）對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對(duì)一切，都有成立.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析．

解析試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)在上的最小值，先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于的值不知，故需要分類(lèi)討論，由得，，因此分，與兩種情況，進(jìn)而可求出最小值；（Ⅱ）對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，解這一類(lèi)題，常常采用含有參數(shù)的放到不等式的一邊，不含參數(shù)（即含）的放到不等式的另一邊，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，由，則，構(gòu)造函數(shù)，則，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）對(duì)一切，都有成立，即，結(jié)合（Ⅰ）中結(jié)論可知，構(gòu)造新函數(shù)，分析其最大值，可得答案．
試題解析：（Ⅰ）. 
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增   2分 
，即時(shí)，；      4分
②，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，．
所以.                     6分
（Ⅱ），則，
設(shè)，則，     8分
①單調(diào)遞減，②單調(diào)遞增，
所以，對(duì)一切恒成立，
所以.                                  10分
（Ⅲ）問(wèn)題等價(jià)于證明，
由（Ⅰ）可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到. 12分
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)取得最大值，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立.       14分
考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．